Exemples de calculs d'intégrales à l'aide d'une primitive

1. Soit \(f\) la fonction carré. On veut calculer \(\displaystyle \int_1^4 f(x)\ \text d x\).
Une primitive de \(x\mapsto x^2\)  sur \([1~;~4]\) est \(x\mapsto \dfrac 13 x^3\).
Ainsi, \(\displaystyle \int_1^4 f(x)\ \text d x = \left[\dfrac13x^3\right]_1^4=\dfrac13\times 4^3-\dfrac13\times 1^3=\dfrac{64}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{63}{3}=21\).

2. Soit \(f\) la fonction définie sur \([0~;~\pi]\) par \(f(t)=\cos(2t)\). On veut calculer \(\displaystyle \int_0^\pi f(t)\ \text d t\).
Une primitive de \(f\) sur \([0~;~\pi]\) est la fonction définie, pour tout réel \(t\) de \([0~;~\pi]\), par \(F(t)=\dfrac12\sin(2t)\).
Donc \(\displaystyle \int_0^\pi f(t)\ \text d t = \left[\dfrac12 \sin(2t)\right]_0^\pi =\dfrac12 \sin(2\times\pi)-\dfrac12 \sin(2\times0)=0\).